Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là một trong những công thức được sử dụng khá nhiều trong chương trình học phổ thông hiện nay. Với các kiến thức liên quan cũng như các công thức tính diện tích hỗ trợ nhằm để giúp chúng ta có thể dễ dàng tính toán được diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thì hôm nay Legoland sẽ giúp các bạn tổng hợp lại các kiến thức về diện tích mặt cầu ngoại tiếp nhé .
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là gì?
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hay còn được gọi là hình chóp nội tiếp mặt cầu , bản chất của nó là một hình mặt cầu bao quanh một khối hình chóp với đường tròn đi qua các đỉnh của hình chóp .
Các công thức tính diện tích mặt cầu
Trước khi tính được diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thì chúng ta cần phải biết cách tính diện tích của mặt cầu trước . Chính vì thế chúng ta có thể áp dụng công thức dưới để tính diện tích mặt cầu trước như sau :
S = 4.π.r2 = π.d2
Trong đó :
Slà diện tích mặt cầurlà bán kính mặt cầu/hình cầudlà bánh kính mặt cầu/hình cầu
Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp. Để tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, chúng ta cần xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp. Ngoài ra có thể áp dụng phương pháp tính nhanh với một số dạng toán cụ thể.
Trước khi đi vào cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp cho hình chóp thì chúng ta phải biết cách xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trước tiên nhé .
Tham khảo thêm các công thức hình học khác :
- Công thức tính chu vi, diện tích hình tròn chuẩn SGK
- Công thức tính độ dài cung tròn kèm 5 ví dụ minh họa hay
- Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật kèm ví dụ hay
- Tổng hợp công thức tính chu vi tam giác chuẩn SGK
Với các bước sau đây :
Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bước 1: Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên.
Bước 3: Giao điểm của trục của đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Trong một vài trường hợp đặc biệt, có thể có công thức tính nhanh diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Để mà tính được diện tích mặt cầu ngoại tiếp cho hình chóp thì chúng ta cần xác định với 2 trường hợp cụ thể như sau :
Trường hợp 1: Hình chóp có các đỉnh cùng nhìn 1 cạnh AB góc 90 độ
Các đỉnh này không nằm trên cạnh đó) dưới góc 90 độ, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chóp đó:
R=AB/2 ,
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp như sau :
S= 2 π AB2
Ví dụ minh họa : Cho hình chóp S.KLM, đáy là hình tam giác KLM có góc L bằng 90 độ, cạnh SK vuông góc với đáy tại điểm K. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.KLM biết SM = 2a
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SKLM:
r = SM/2 = a
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.KLM :
S= 4 π a2
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SKML :
V = 4/3 π r3
Trường hợp 2: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều SHLM, SH = a
Cho hình chóp tam giác đều với đỉnh là S có đấy là SHLM
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SHLM:
r = SH2 /2.SO
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SHLM:
S= 4 π R2 = 3/2 π a2
Trường hợp 3: Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều đáy SABCD
Hình chóp tứ diện đều có ABCD là hình vuông. O là tâm hình vuông ABCD đồng thời là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD:
r = OD
Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD
R= OD = (a √ 2)/2
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ diện đều SABCD
S = 4 π R2 = 2 π a2
5 bài tập về tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a và vuông góc với (ABCD). Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
Bài giải :
Gọi O là trung điểm của SC
Xét các vuông tại A ∆SAC; ∆SAD; ∆SAB có:
Ta có:
⇒ ∆SBC; ∆SCD vuông tại C
Hình chóp S.ABCD có:
Thể tích khối cầu là:
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với (ABC), ∆ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
Hướng dẫn:
Xét các vuông tại A ∆BAC; ∆DAB; ∆DAC có:
AC2 = BC2 + AB2 = 16a2 + 9a2 = 25a2
DB2 = DA2 + AB2 = 25a2 + 9a2 = 34a2
DC2 = DA2 + AC2 = 25a2 + 25a2 = 50a2
Xét ∆DBC có:
DB2 + BC2 = 34a2 + 16a2 = 50a2 = DC2
⇒ ∆DBC vuông tại B
Gọi O là trung điểm của CD
∆DAC vuông tại A có AO là trung tuyến
⇒ OA = OC = OD = CD/2 (1)
∆DBC vuông tại B có BO là trung tuyến
⇒ OB = OC = OD = CD/2 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
Bài 3 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài giải :
Gọi O là trọng tâm của tam giác đều ABC và M là trung điểm của BC
Đường trung trực của SA cắt SA tại N và cắt đường thẳng đi qua O, song song với SA tại I
⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
⇒ IO ⊥ (ABC) và IN ⊥ SA ⇒ AOIN là hình chữ nhật.
Bài 4 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a.Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.
Bài giải :
Áp dụng công thức giải nhanh với lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a, ta được:
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ:
Bài 5 : Cạnh bên của một hình chóp tam giác đều bằng a tạo với mặt đáy một góc 30º. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó .
Bài giải :
Giải thích :
Gọi O là tâm đáy ABC
⇒ SO ⊥ (ABC)
⇒ Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là góc ∠(SAO) =30º
Xét ∆SAO vuông tại O có:
Áp dụng công thức giải nhanh:
Diện tích mặt cầu:
Tổng kết :
Với những tổng hợp về kiến thức các công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ở trên kèm theo các ví dụ thực tế hi vọng sẽ giúp cho các em học sinh có thêm những kiến thức tốt nhất nhé.
