Trong những năm học cuối (lớp 8, lớp 9) trung học cơ sở, các bạn học sinh ắt đầu được tiếp xúc với các dạng bài toán có liên quan đến hình tròn. Và đây cũng được coi như là kiến thức quan trọng trong phần hình học, là cơ sở cho các bài toán hình học cấp 3 khác. Vậy, sau đây các bạn học sinh hay cùng tìm hiểu một trong những công thức tính toán cơ bản – “công thức tính độ dài cung tròn” liên quan đến hình tròn qua bài viết dưới đây nào. Bên cạnh đó, bài viết cũng kèm theo một số ví dụ để các bạn ôn tập nên hãy theo dõi bài viết đến cùng nhé!

Cùng tìm hiểu về công thức tính độ dài cung tròn

Một số khái niệm về đường tròn, cung tròn:

Đường tròn là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính độ dài cung tròn là gì, ta nên làm rõ một số các định nghĩa có liên quan trước nhé. Vậy thì đường tròn là gì?

Đường tròn, hay còn được gọi là vòng tròn (trong hình học phẳng) được hiểu là tập hợp của tất cả các điểm trên cùng một đường, điểm đó cách đều một điểm cho trước một khoảng và luôn luôn bằng nhau. 

Tâm của đường tròn chính là tên gọi của điểm cho trước, còn khoảng cách của tất cả các điểm trên đường tròn đến tâm của đường tròn được gọi là bán kính của đường tròn.

Trong toán học, đường tròn tâm I với bán kính R được ký hiệu là  (I,R).

Hiểu một cách đơn giản hơn thì đường tròn chính là một hình khép kính đơn giản. Nó chia mặt phẳng làm 2 phần: bên ngoài và bên trong. 

Trong đó: 

• Đường tròn: là ranh giới giữa 2 phần (bên ngoài, bên trong);
• Hình tròn: bao gồm cả phần ranh giới (đường tròn) với cả phần bên trong  đường tròn.

Tham khảo thêm các công thức toán học khác :

• Tổng hợp các công thức tính gia tốc ở cấp học THPT
• Tổng hợp công thức tính diện tích và chu vi hình chữ nhật
• Tổng hợp các công thức lượng giác lớp 10, 11, 12 đầy đủ nhất
• Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật kèm ví dụ hay

Cung tròn là gì?

Cung tròn trong hình học chính là đoạn công khả vi trong 1 đa tạp. Hay, ta có thể hiểu một cách đơn giản hơn thì cung đường tròn là một phần (1 đoạn) của đường tròn hay chu vi (biên) của hình tròn. 

Thế nào là cung tròn?

Nói cách khác, cung đường tròn còn là quỹ tích tất cả các điểm thuộc đường tròn nằm giữa 2 điểm đã được xác định.

Ký hiệu của cung tròn trong toán hình học là: ⌒

Cần lưu ý:

Cung và dây cung là hai khái niệm khác nhau, tránh nhằm lẫn dẫn tới việc áp dụng sai công thức tính độ dài cung tròn.

• Cung (hay còn gọi là cung tròn): là một đoạn đóng bất kì trên đường tròn;
• Dây cung (hay thường được gọi tắt là cung): là đoạn thẳng mà 2 đâu mút của nó nằm trên đường tròn.

Mối liên hệ giữa dây cung và cung tròn trong hình tròn:

Trước khi đi tìm hiểu công thức tính độ dài cung tròn trên đường tròn, ta hãy cùng tìm hiểu đôi chút về mối quan hệ mật thiết giữa 2 khái niệm cung tròn (gọi tắt là cung) và dây cung (gọi tắt là dây) nhé.

Nếu hai cung tròn nhỏ trong 1 đường tròn bằng nhau hoặc trong 2 đường tròn bằng nhau, thì:

• 2 cung tròn bằng nhau thì dây cung của 2 cung đó cũng bằng nhau và ngược lại. Nếu 2 dây cung bằng nhau thì 2 cung tròn cũng bằng nhau.
• Nếu cung tròn “a” lớn hơn cung tròn “b” thì dây cung “a” cũng lớn hay căn dây cung “b” và ngược lại. 

Một số liên hệ bổ sung khác:

• Trong đường tròn, nếu hai cung tròn bị chắn giữa 2 dây cung song song thì 2 cung đó bằng nhau.
• Trong đường tròn, nếu đường kính của hình tròn đi qua trung điểm của cung tròn thì cũng đi qua trung điểm của dây cung thuộc cung tròn đó.
• Tương tự, nếu đường kính của hình tròn đi qua trung điểm của 1 dây cung (với điều kiện: dây cung không được đi qua tâm, vì nếu dây cung đi qua tâm thì đó là đường kính hình tròn) thì cũng đồng thời đi qua trung điểm của cung tròn của dây cung đó.
• Đường kính của hình tròn sẽ vuông góc với dây cung tương ứng với cung tròn của nó nếu đường kính đi qua trung điểm của cung tròn tương ứng với dây cung đó và ngược lại.

Công thức tính độ dài cung tròn là gì?

Công thức tính độ dài cung tròn là công thức cơ bản trong các bài toán liên quan đến hình tròn. Vì thế công thức tính độ dài cung tròn cũng khá đơn giản, dễ nhớ.

Độ dài $C$ của một đường tròn có bán kính $R$ được tính theo công thức:

$C=2\pi R$

Nếu gọi $d$ là đường kính đường tròn $(d=2R)$ thì $C=\pi d$

Công thức được xác định như sau:

Trong đó:

• l – là ký hiệu của cung tròn;
• π – là số pi = 3,14;
• R – là bán kính của hình tròn;
• n – là số đo độ của cung tròn mà ta cần tìm;

Trước khi áp dụng công thức tính độ dài cung tròn, ta cần lưu ý tạo 2 đường thẳng nối từ tâm hình tròn đến 2 đầu mút trên cung tròn để giới hạn, từ đó tạo ra số đo góc tương ứng cho cung tròn. Sử dụng số đo góc đó để áp dụng vào công thức.

5 ví dụ áp dụng công thức tính độ dài cung tròn:

Làm bài tập thường xuyên để ôn tập và ghi nhớ công thức

Ví dụ 1: 

Cho một đường tròn có bán kinh là 4 cm. Hãy tìm độ dài của cung tròn 1200 của đường tròn đó:

Lời giải:

Tóm tắt:

R = 4 cm

n = 1200

Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn, ta có:

L = (π × R × n)/180 = (π × 4 × 120)/180 = 83 (cm)

→ Kết luận: Vậy độ dài cung tròn góc 1200 là 83 cm.

Ví dụ 2:

Cho một đường tròn tâm O với bán kính là R (O; R). Độ dài của cung tròn AB là πR4. Hãy xác định số đo góc của cung tròn AB?

Lời giải:

Gọi n là số đo của cung tròn AB.

Theo công thức tính độ dài cung tròn, ta có:

L = π × R × n180

→  πR4 = π × R × n180

→ n = 450

→ Kết luận: số đo góc của cung tròn AB là 45 độ.

Ví dụ 3:

Cho đường tròn tâm O, có bán kính là R (O; R):

1. Tính số đo góc AOB, biết độ dài của cung tròn AB là πR3
2. Trên cung tròn lớn AB, lấy điểm C sao cho tam giác AOC vuông cân tại tâm O của đường tròn. Hãy tìm độ dài cung AB và BC.

Lời giải: 

Theo công thức tính độ dài cung tròn, ta có:

L = π × R × n180

→  πR3 = π × R × n180

→ n = 600

→ Kết luận: số đo góc  AOB là 600.

Vì tam giác AOC là tam giác vuông cân nên độ dài cung AC được xác định như sau:

L = π × R × 90180 = πR2

Số đo góc cung tròn lớn BC là:

 3600 – 600 – 900 = 2100

Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn, ta có:

L = π × R × 210180 = 7πR6

Ví dụ 4:

Hãy xác định độ dài của cung tròn có số đo góc là 1400, có bán kính là 6 cm.

Lời giải:

Áp dụng công thúc tính độ dài cung tròn, ta có:

L = π × R × n180

L = π × 6 × 140180

L = 143 (cm)

→ Kết luận: độ dài cung tròn có số đo góc là 1400 = 143 (cm).

Ví dụ 5:

Cho 1 đường tròn có bán kính R = 4 cm. Hãy xác định độ dài cung tròn có số đo góc 400.

Theo công thức tính độ dài của cung tròn ta có:

L = π × R × n180

L = π × 4 × 40180

L = 89 (cm)

→ Kết luận: vậy độ dài cung tròn góc 400 là 89 cm.

Như vậy, bài viết trên đã giúp các bạn phần nào biết được công thức tính độ dài cung tròn. Hãy nhớ rằng, luôn luôn ôn tập để ghi nhớ cac công thức, tránh nhớ nhầm công thức dẫn đến áp dụng sai công thức, sẽ khiến kết quả cuối cùng cũng bị ảnh hưởng các bạn nhé!