Trong toán học, các định nghĩa, công thức được vận dụng rất nhiều để giải các bài tập. Đặc biệt, trong môn toán, nhất là hình học các thuật ngữ có số lượng vượt trội hơn cả. Vì thế để nắm bắt được các đặc điểm, tính chất của nó thường gặp nhiều khó khăn hơn. Bài viết ngày hôm nay mình sẽ cùng các bạn tìm hiểu một trong những thuật ngữ toán học. Đó chính là đường trung tuyến. Nhắc đến đường trung tuyến chúng ta thường hay nhắc đến đường trung tuyến trong hình tam giác. Vậy đường trung tuyến là gì? Các công thức, tính chất của đường trung tuyến là gì? Các bạn hãy cùng mình theo dõi tiếp bài viết sau đây nhé.
Đường trung tuyến là gì?
Trung điểm là gì?
Trước khi đi tìm hiểu về đường trung tuyến là gì? Chúng ta đi tìm hiểu về khái niệm có liên quan đến nó trước nhé. Đó chính là khái niệm về trung điểm.
Vậy trung điểm là gì? Trung điểm chính là điểm chính giữa của một đường hay đoạn thẳng, chia đoạn thẳng hay đường thẳng đó thành 2 phần có độ dài bằng nhau.
OM = PM → M là trung điểm của đoạn thẳng OP
Đường trung tuyến là gì?
Sau khi hiểu được khái niệm về trung điểm chúng ta đi đến trả lời câu hỏi đường trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến được hiểu là một đường thẳng cắt ngang một đường thẳng khác tại trung điểm của đường thắng đó.
Đường trung tuyến của một tam giác
Vậy đường trung tuyến trong tam giác là gì? Đường trung tuyến của tam giác là một đoạn thẳng nối trung điểm của một cạnh tam giác đến đỉnh đối diện của cạnh đó. Như thế, trong một tam giác ta có được 3 đường trung tuyến.
Tham khảo thêm các bài toán về hình học khác :
- Công thức tính diện tích, chu vi, thể tích hình vuông chuẩn SGK
- Công thức tính chu vi và diện tích hình thoi chuẩn SGK
- Cách tính thể tích & diện tích hình chóp tứ giác đều chuẩn
- Cách tính cạnh huyền tam giác vuông kèm 5 ví dụ minh họa chuẩn
Tính chất của đường trung tuyến là gì?
Tính chất đường trung tuyến trong hình tam giác:
Đường trung tuyến của một hình tam giác có 3 tính chất sau đây:
- Tính chất 1 : Ba đường trung tuyến của tam giác cùng cắt nhau tại 1 điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 23 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
- Tính chất 2 : Trọng tâm của hình tam giác được xác định là giao điểm giữa 3 đường trung tuyến của tam giác đó
- Tính chất 3 : Vị trí trọng tâm của tam giác:
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 23 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Trọng tâm của một tam giác cách trung điểm của mỗi cạnh một khoảng bằng 13 độ dài của đường trung tuyến đi qua trung điểm đó.
- Tính chất 4 : Diện tích của tam giác được chia thành 2 phần bằng nhau bằng đường trung tuyến của tam giác. Ba đường trung tuyến chia hình tam giác thành 3 cặp tam giác tương ứng với mỗi đường trung tuyến, mỗi cặp tam giác đều có diện tích bằng nhau.
S∆ADB = S∆ADC ; S∆BEA = S∆BEC ; S∆CFA = S∆CFB
Bên cạnh các tính chất của đường trung tuyến cừa được nêu trên. Các tính chất này đều có và được áp dụng trong tất cả các hình tam giác kể cả các hình tam giác đặc biệt như tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,… Nhưng các tam giác đặc biệt lại có them một số tính chất khác của đường trung tuyến. Vậy tính chất đường trung tuyến là gì trong các tam giác đặc biệt đó? Hãy cùng tìm hiểu nhé.
Tính chất đường trung tuyến trong trường hợp các tam giác đặc biệt:
- Trong tam giác cân và tam giác đều, đường trung tuyến của mỗi cạnh tam giác chia đôi các góc ở đỉnh có số đo bằng nhau và hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau.
- Tam giác vuông là loại tam giác đặc biệt với một góc có độ lớn là 900, do vậy đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 12 cạnh huyền.
- Đặc biệt trong tam giác đều, 3 đường trung tuyến cuẩ mỗi cạnh tam giác đều chia tam giác đó thành 6 hình tam giác nhỏ và chúng có diện tích bằng nhau.
- Đường trung tuyến trong tam giác đều sẽ vuông góc tại trung điểm tương ứng.
Đường trung tuyến trong 2 tam giác
Sau khi tìm hiểu được các tính chất của đường trung tuyến là gì kể cả trong tam giác thường và cả các loại tam giác đặc biệt. Chúng ta sẽ đi đến tìm hiểu công thức của đường trung trực nhé.
Công thức tính đường trung tuyến là gì?
Theo định lý Apollonius, công thức tính đường trung tuyến được xác định như sau:
ma = 2b2+2c2– a24
mb = 2a2+2c2– b24
mc = 2b2+2a2–c24
Trong đó:
- a, b, c là cạnh của tam giác.
- ma, mb, mc: là đường trung tuyến của tam giác tương ưng với các cạnh a, b, c.
Sau khi tìm hiểu qua một lượt về định nghĩa, tính chất, công thức đường trung tuyến là gì. Bây giờ chúng ta sẽ đi vào phần áp dụng những gì đã học được vào các bài tập sau đây nhé.
Một số bài tập vận dụng liên quan đến đường trung tuyến:
Ở phần này chúng ta sẽ áp dụng những gì đã tìm hiểu được từ các phần tìm hiểu tính chất, công thức đường trung tuyến là gì đã được đề cập ở các phần trước để tìm ra đáp án cho nhưng bài tập sau đây.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 7 cm, AB = c = 5 cm. Hãy cho biết độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC?
(Áp dụng công thức tính đường trung tuyến là gì)
Lời giải:
Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài của các trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Áp dụng công thức trung tuyến, ta có:
- ma = 2b2+2c2– a24 = 2 × 72 + 2 × 52– 102 4 = 23
- mb = 2a2+2c2– b24 = 2 × 102+ 2 × 52– 724 = 2012
- mc = 2b2+2a2–c24 = 2 × 72 + 2 × 102 – 52 4 = 2732
Ví dụ 2: Cho một tam giác cân OMN cân tại O, có OM = ON =17 cm và MN = 16 cm. Kẻ một đường trung tuyến OP.
- a) Hãy chứng minh OP vuông góc với
- b) Cho biết độ cài cạnh OP.
(Áp dụng tính chất của đường trung tuyến là gì trong tam giác)
Lời giải:
- a) Ta có:
OP là đường trung tuyến của tam giác OMN nên PM = PN.
Mặt khác, ta có tam giác cân OMN cân tại đỉnh O
→ OP vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác cân OMN
Vậy AM ⊥ BC.
- b) Ta có:
MN = 16cm nên PM = PN = 8cm
OM = ON = 17cm
Xét tam giác OPM vuông tại P
Áp dụng Định lý Pitago, ta có công thức:
OM2 = OP2 + PM2
→ 172= OP2 + 82
→ OP2 = 172 – 82= 225
→ OP = 225
→ OP = 15 cm
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có 2 đường đường trung truyến AA’ và BB’, 2 đường này giao nhau tại điểm O. Hãy cho biết: diện tích của tam giác ABC, biết rằng: diện tích của tam giác AOB bằng 5 (đvdt).
(Áp dụng tính chất đường trung tuyến là gì trong tam giác)
Ảnh minh họa cho ví dụ 3.
Lời giải:
Ta có:
Xét S∆AOB = 23 S∆AA’B (vì AO = 23 AA’)
S∆ABA’ = 12 S∆ABC (vì BA’ = 12 BC)
Từ đó, suy ra: S∆ABC = 2S∆ABA’ = 3S∆AOB
Theo đề bài ta có: S∆AOB = 5(dvdt) => S∆ABC = 3.5 =15(dvdt).
Tam giác là một trong những hình học được sử dụng phổ biến trong các bài toán của học sinh. Vì thế, nắm đợc cái khái niệm, tính chất liên quan đến hình tam giác là điều cần thiết. Qua bài tìm hiểu hôm nay về một trong những tính chất thường xuyên được áp dụng trong hình tam giác – định nghĩa, tính chất, công thức đường trung tuyến là gì. Hy vọng bài viết sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn cũng như ôn tập lại được kiến thức để vận dụng một cách hợp lý vào các bài tập toán hình học.
Các công thức toán học là rất nhiều vì thế hãy kiên nhẫn trong quá trình tìm hiểu và học tập nó. Nên nắm rõ các khái niệm và định nghĩa khác nhau của các thuật ngữ cũng như công thức toán học để tránh áp dụng sai công thức vào bài làm nhé!
