Trong suốt quá tình học tập trên ghế nhà trường, chắc chắn mỗi ai trong chúng ta cũng đều ghi nhớ không ít thì nhiều về môn toán. Đối với môn toán hình học thì người ta sẽ nhớ đến những con số còn nhắc đến toán hình học chắc chắn hiện lên ngay trong tiềm thức của chúng ta là hình tròn, vuông, tam giác,…
Bài viết ngày hôm nay sẽ dẫn các bạn đi tìm hiểu về công thức có liên quan đến một trong những loại hình học phổ biến nhất, đó chính là hình tam giác. Vậy, ngay sau đây hãy cùng mình đi tìm hiểu về hệ thức lượng trong tam giác, cũng như cùng nhau giải một số bài tập có liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác nhé!
Quy ước về các ký hiệu trong hệ thức lượng tam giác:
Để có thể sử dụng các công thức hệ thức lượng trong tam giác một cách dễ dàng, chúng ta cung tìm hiểu về các một số các quy ước chung về các đại lượng trong tam giác như kí hiệu về độ dài, các đường đặc biệt,… trong tam giác.
Hãy lưu ý ghi nhớ các kỹ hiệu này, nó sẽ giúp bạn áp dụng các công thức hệ thức lượng trong tam giác 1 cách dễ dàng hơn đấy.
Các ký hiệu trong công thức hình học tam giác
Xét trong tam giác ABC, ta có:
- AC = c, BC = a, CA = b. Trong đó, a, b, c lần lược độ dài của các cạnh đối diện tương ứng với 3 đỉnh A, B, C của tam giác.
- Trong tam giác ABC, ta có các ký hiệu ha, hb, hc chính là ký hiệu cho độ dài các đường cao xuất phát lần lượt từ 3 đỉnh tương ứng A,B,C của tam giác.
- Các kí hiệu ma, mb, mc chính là ký hiệu cho độ dài của các đường trung tuyến trong tam giác ABC, với ma, mb, mc lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ 3 đỉnh tương ứng A, B, C.
- Kí hiệu la, lb, lc, mang ý nghĩa thể hiện độ dài của các đường phân giác trong của tam giác ABC với la, lb, lc, lần lược là các đường phân giác tương ứng với ba đỉnh A, B, C trong tam giác
Ngoài ra còn một số các ký hiệu quen thuộc khác của tám giác như:
- S là ký hiệu cho diện tích hình tam giác
- R là ký hiệu cho bán kính đường trội nội tiếp của tam giác
- r là ký hiệu cho bán kính đường trội ngoại tiếp của tam giác
- P là ký hiệu cho chu vi của hình tam giác
- p là ký hiệu cho nữa chu vi của hình tam giác
Hệ thức lượng trong tam giác thường:
Định lý Cosin trong tam giác thường là gì?
Định lý cosin chính là một trong những định lý được xây dựng từ hệ thức lượng trong tam giác thường.
Định lý Cosin (hệ thức lượng trong tam giác) có thể được hiểu như sau:
Trong một tam giác bất kỳ thì ta sẽ có: tổng bình phương đọ dài của một cạnh bất kỳ trong tam giác bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh (còn lại của tam giác) trừ đi hai lần tích của 2 cạnh đó với cosin của góc xen giữa.
Định lý Cosin và hệ quả của nó
Từ đó mà người ta còn phát triển dùng định lý Cosin (từ hệ thức lượng trong tam giác) như một hệ quả để tính góc thông qua việc rút cosin từ công thức của định lý này.
Một hệ quả khác (đường trung tuyến) của định lý Cosin
Định lý Sin trong tam giác thường là gì?
Cũng như định lý Cosin thì Đinh lý Sin cũng là một định lý được phát triển từ nguồn gốc hệ thức lượng trong tam giác. Ta có thể phát biểu Định lý Sin như sau:
Trong một tam giác bất kỳ, thì tỉ số giữa sin của góc dối diện với độ dài của cạnh tương ứng (với đóc đối diện đó) bằng nhau và bằng 2 lần của bán kính đường trong ngoại tiếp tam giác đó.
Định lý Sin
Thông tin thêm rằng Định lý Cosin hay Định lý Sin không phải bắt nguồn từ tên của một nhà khoa học hay toán học nào cả mà chỉ đơn giản là công thức trong mỗi định lý này có giá trị lượng giác cosin và sin mà thôi.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Trong tam giác vuông thì hệ thống các hệ thức lượng trong tam giác vuông chính là những trường hợp đặc biệt của các hệ thức lượng trong tam giác thường.
Hệ thống tất cả các hệ thức lượng trong tam giác vuông được liệt kê thông qua bảng sau đây:
Bảng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Tham khảo thêm các công thức toán học khác :
- Tổng hợp công thức tính diện tích và chu vi hình chữ nhật
- Công thức tính thể tích hình nón cụt kèm 5 ví dụ hay
- Công thức tính diện tích, chu vi, thể tích hình vuông chuẩn SGK
- Đường trung tuyến là gì? Định nghĩa, công thức và tính chất chuẩn
5 bài ví dụ áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác:
Ví dụ 1:
Chứng minh công thức tính diện tích tam giác S = p(p-a)(p-p)(p-c) là đúng.
Hình minh họa tam giác ABC
Xét tam giác ABC, ta có:
- ha, hb, hc lần lượt chính là đường cao của tam giác ABC tương ứng với 3 cạnh BC (a), AC (b), AB (c) và xuất phát từ 3 đỉnh A, B, C của tam giác.
- r, R lần lượt là đường kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC và đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
- P (nửa chu vi hình tam giác ABC) = 12 (a+b+c)
Ta có công thức để tính diện tích của tam giác ABC như sau:
S = 12 a. ha = 12 b. hb = 12 c. hc
S = 12 ab. sin A = 12 ac. sin B = 12 bc. sin C
S = abc.4R
S = p.r
S = p(p-a)(p-p)(p-c) (1 trong những công thức hệ thức lượng trong tam giác)
Ví dụ 2:
Cho một tam giác ABC vuông tại A, đồng thời cho tam giác có đường cao AH. Biết: ABAC = 34 và AB + AC = 21. Tính các cạnh của tam giác ABC?
Tam giác ABC vuông tại A có Ah là đường cao
Theo giả thuyết ta có:
ABAC = 34
→ AB3 = AC4 = AB + AC3 + 4 = 3 (hệ thức lượng trong tam giác)
Do đó:
AB = 3.3 = 9
AC = 3.4 = 12
Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 92 + 122 = 225
→ BC = 225 = 15
Ví dụ 3:
Cho một tam giác ABC, có đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh BC và AB = 3, cạnh AB = 9 và góc ACB = 600.
Đặt BC = y (với y > 0)
Xét tam giác ABC, ta có:
Gọi đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh AB và BC là MN
→ MN = 3 → AC = 6 Theo định lý cosin ta có (áp dụng hệ thức lượng trong tam giác):
AB2 = AC2 + BC2 – 2.AC.BC.cos C
→ 81 = 36 + y2 – 2.6.y.12
→ y = 3.( 1 + 6 )
Ví dụ 4:
Cho tam giác DEF. Tìm góc D trong tam giác biết các cạnh d, e, f thỏa mãn hệ thức:
e (e2 – d2) = f (f2 – d2) với ( e ≠ f )
↔ e3 – f3 = e2 (e-f )
e2 + ef + f2 = d2
Theo định lý cosin (hệ thức lượng trong tam giác)
d2 = e2 + f2 – 2.ef.cos D
↔ cos D = 12
D = 600
Ví dụ 5:
Chứng minh tam giác MNP là một tam giác cân nếu như 4mm2 = n(n+4p.cos M).
Sử dụng công thức đường trung tuyến và định lý sin trong hệ thức lượng trong tam giác, ta có:
4mm2 = n(n+4p.cos M)
↔ 42 (n2 + p2) – m24 = n (n + 4p. n2 + p2 – m22np)
↔ m = n
